题目

已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点
分别为A.B.若椭圆上存在点P,使得PA向量乘以PB向量=0,那么椭圆的离心率的取值范围是什么

提问时间：2020-10-02

答案

PA向量乘以PB向量=0,等价于PA⊥PB,又∵PA⊥OA、PB⊥OB,且OA=OB
∴PAOB是正方形边长为b,对角线OP=√2·b
因此,P存在的前提是：以O为圆心、√2·b为半径的圆与椭圆C存在交点.
∴√2·b《 a,∴b^2《a^2/2,∴e^2 = c^2/a^2 》1/2,结合e<1得到：e∈[√2/2,1)