题目

若函数f（x）=x³-3a²x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，+∞）
B. （-∞，1）
C. （-1，+∞）
D. （-1，1）

提问时间：2020-10-02

答案

求一阶导数可得f'（x）=3x²-3a²，两个极值点分别在x=a、x=-a，代入函数，得f（a）=-2a³+1，f（-a）=2a³+1，
当a＞0时，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
当a＜0时，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
当a=0时，显然成立；
则答案为：-1＜a＜1，
故选D．

要使函数f（x）=x³-3a²x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．