题目

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，底面A₁B₁C₁D₁ 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

（Ⅰ）证明：BD⊥EC₁；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=

2

，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

提问时间：2020-10-02

答案

（Ⅰ）连接AC，AE∥CC₁，⇒E，A，C，C₁共面，
长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC₁，⇒BD⊥EC₁；
（Ⅱ）在矩形ACC₁A₁中，OE⊥EC₁，⇒△OAE∽△EA₁C₁，
AB=2，AE=

2

得

AE

AO

＝

A1C1

EA1

⇔

2

2

＝

AA1− 2

2 2

，AA₁=3

2

．

（Ⅰ）连接AC，AE∥CC₁，推出底面A₁B₁C₁D₁是正方形．然后证明BD⊥平面EACC₁，即可证明BD⊥EC₁；
（Ⅱ）通过△OAE∽△EA₁C₁，利用已知条件以及

AE

AO

＝

A1C1

EA1

，求出AA₁ 的长．

本题考点：直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．

考点点评：本题考查直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力计算能力．