题目

有n 个整数,积为n ,和为0,求证:n能被4整除

提问时间：2020-10-02

答案

证明：我们先设n个整数为a1,a2,a3,...,an.
如果n为奇数,则由a1×a2×a3×...×an=n,可以知道a1,a2,a3,...,an均为奇数,从而得到它们的和也是奇数,这与已知条件它们的和是0矛盾,所以n为偶数.
因为n为偶数,所以我们设n=2k
如果k为奇数,则由a1×a2×a3×...×a2k=2k,知道a1,a2,a3,...,a2k中仅有一个偶数
（因为积2k里只有一个偶质因数2）,
而其余（2k-1）个数均为奇数.
但是一个偶数与奇数的和还是奇数,这也就是说2k个数的和为奇数,与已知条件矛盾,所以k也是偶数.
既然k是偶数,我们就设k=2k`,则n=4k`(k`为整数）,即n能被4整除.