题目

1、已知abc=1,则关于x的方程x/(1+a+ab)+x/(1+b+bc)+x/(1+c+ca)=2004的解是______.
前面题目有误,重问
2、设正整数m,n满足m＜n,且1/(m2+m)+1/[(m+1)2+(m+1)]+…+1/(n2+n)=1/23,则m+n的值是______.

提问时间：2020-10-02

答案

已知abc=1
得a/（ab+a+1）=a/（ab+a+abc）=1/（bc+b+1）
得c/（ca+c+1）=c/（ca+c+abc）=1/（a+1+ab）
.由abc=1可得a=1/bc,代入1/（a+1+ab）中可得bc/（bc+b+1）
所以：
a/（ab+a+1）+b/（bc+b+1）+c/（ca+c+1）=（bc+b+1）/（bc+b+1）=1
所以原方程的解为x=2004
1/(n^2+n)=1/n(n+1)=(n+1-n)/n(n+1)=(n+1)/n(n+1)-n/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以1/(m2+m)+1/[(m+1)2+(m+1)]+…+1/(n2+n)
=1/m-1/(m+1)+1/(m+1)-1/(m+2)+...+1/n-1/(n+1)
=1/m-1/(n+1)
已知其值为1/23,得
1/m-1/(n+1)=（n+1-m)/m(n+1)=1/23=(23-1)/23*22
因为正整数m,n满足m＜n
得m=22,n+1=23*22=506,n=505
得m+n=527.