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题目
(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称;
(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.

提问时间:2020-10-02

答案
(1)证明:设P(s,t)是y=f(x)图象上任一点,则t=f(s),
又P点关于x=m的对称点为P',则P'(2m-s,t),
由已知f(m+x)=f(m-x)得,f(2m-s)=f(m+(m-s))=f(m-(m-s))=f(s)=t,
即P'在y=f(x)的图象上,
∴y=f(x)的图象关于直线x=m对称;
(2)∵函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,
∴log2|a(2+x)-1|=log2|a(2-x)-1|恒成立,
即|a(2+x)-1|=|a(2-x)-1|恒成立,
即|ax+(2a-1)|=|-ax+(2a-1)|恒成立,
∵a≠0,∴2a-1=0,即a=
1
2
(1)设P(s,t)是y=f(x)图象上任一点,P点关于x=m的对称点为P',运用对称知识求出P'的坐标,说明也在函数f(x)的图象上即可得证;
(2)根据(1)得到log2|a(2+x)-1|=log2|a(2-x)-1|恒成立,然后由对数知识,去对数符号,整理,由x的任意性和a不为0,即可求出a的值.

抽象函数及其应用.

本题考查函数的对称性及运用,注意设点求对称点,同时考查恒成立问题,注意转化思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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