题目
已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于B(-2,0),C(4,0)两点
点E是对称轴l与x的交点.(1)求二次函数的解析式;(2)T为对称轴l上一动点,以点B为圆心,BT为半径作圆B,写出直线CT与圆B相切时,求T点的坐标;(3)若在x轴上方的P点为抛物线上的动点,且角BPC为锐角,直接写出PE的取值范围(4)对于(1)中得到的关系式,若x为整数,在使得y为完全平方数的所有x的值中,设x的最大值为m,最小值为n,次小值为s,(注:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么就称这个数为完全平方数.)求m,n,s的值
点E是对称轴l与x的交点.(1)求二次函数的解析式;(2)T为对称轴l上一动点,以点B为圆心,BT为半径作圆B,写出直线CT与圆B相切时,求T点的坐标;(3)若在x轴上方的P点为抛物线上的动点,且角BPC为锐角,直接写出PE的取值范围(4)对于(1)中得到的关系式,若x为整数,在使得y为完全平方数的所有x的值中,设x的最大值为m,最小值为n,次小值为s,(注:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么就称这个数为完全平方数.)求m,n,s的值
提问时间:2020-10-02
答案
(1)由于抛物线的图象经过B(-2,0),C(4,0)两点,则有:
-4-2b+c=0
-16+4b+c=0
解得 b=2 c=8;
故抛物线的解析式为:y=-x²+2x+8.
(2)易知抛物线的对称轴为:x=1;
设点T(1,m),
则直线BT的斜率:k1=m/3 ,直线CT的斜率:k2=m/-3 ;
若⊙B与CT相切,则有:
m/3*m/-3=-1
解得m=±3;
故T(1,3)或(1,-3)
(3)
以E为圆心,BC长为直径作圆,交抛物线于M、N两点;
由圆周角定理知:∠BMC=∠BNC=90°,
此时ME=NE= BC/2=3;
若∠BPC是锐角,那么点P必在M、N之间的抛物线图象上,故PE>3;
易知抛物线的顶点坐标为:(1,9),
当点P运动到抛物线的顶点位置时,PE的长最大,且此时PE=9;
综上可知,PE的取值范围为:3<PE≤9.
(4)
由y=-x2+2x+8,故关于x的一元二次方程x2-2x+(y-8)=0有整数解,
因此△x=4-4(y-8)=-4y+36是完全平方数,且△x=-4y+36≥0,
则y≤9,又y是一个完全平方数,
所以,y只能为0,1,4,9;
分别代入方程x²-2x+(y-8)=0,又x为整数,
解得
x=4 y=0;
x=-2 y=0;
x=1 y=9;
因此m=4、n=-2、s=1
-4-2b+c=0
-16+4b+c=0
解得 b=2 c=8;
故抛物线的解析式为:y=-x²+2x+8.
(2)易知抛物线的对称轴为:x=1;
设点T(1,m),
则直线BT的斜率:k1=m/3 ,直线CT的斜率:k2=m/-3 ;
若⊙B与CT相切,则有:
m/3*m/-3=-1
解得m=±3;
故T(1,3)或(1,-3)
(3)
以E为圆心,BC长为直径作圆,交抛物线于M、N两点;
由圆周角定理知:∠BMC=∠BNC=90°,
此时ME=NE= BC/2=3;
若∠BPC是锐角,那么点P必在M、N之间的抛物线图象上,故PE>3;
易知抛物线的顶点坐标为:(1,9),
当点P运动到抛物线的顶点位置时,PE的长最大,且此时PE=9;
综上可知,PE的取值范围为:3<PE≤9.
(4)
由y=-x2+2x+8,故关于x的一元二次方程x2-2x+(y-8)=0有整数解,
因此△x=4-4(y-8)=-4y+36是完全平方数,且△x=-4y+36≥0,
则y≤9,又y是一个完全平方数,
所以,y只能为0,1,4,9;
分别代入方程x²-2x+(y-8)=0,又x为整数,
解得
x=4 y=0;
x=-2 y=0;
x=1 y=9;
因此m=4、n=-2、s=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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