题目

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（a_n+1-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-10-02

答案

（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（2）当n∈N^*时，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列
则b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=

a2n−1+a1

2

-（n-1）²．
那么a_n+1-a_n=

a2n+1−a2n−1

2

-2n+1=

8n−2

2

-2n+1=2n
于是c_n=2nq^n-1．
当q=1时，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
两边同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述两式相减得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•

1−qn

1−q

-2nqⁿ
=2•

1−(n+1)qn+nqn+1

1−q

所以S_n=2•

nqn+1−(n+1)qn+1

(q−1)2

综上所述，S_n=

n(n+1)     (q＝1) 2• nqn+1−(n+1)qn+1 (q−1)2      (q≠1)

．

（1）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到b_n+1-b_n，和等差数列的定义即可证明．
（3）由（1）（2）两问的结果可以求得c_n，利用乘公比错位相减求{c_n}的前n项和S_n．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．