题目

设等差数列{an}的公差d≠0,数列{bn}为等比数列,若a1=b1=a,a3=b3,a7=b5
(1)若an=bm,n,m∈N*,求n与m之间的关系
(2)将数列{an},{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn},是否存在正整数p,q,r(p＜q＜r)使得p,q,r和(cp)+p,(cq)+q,(cr+r)均成等比数列?说明理由
第三题是(cr)+r,刚刚打错了

提问时间：2020-10-01

答案

设
An=A1+(n-1)d Bm=B1*q^(m-1) (此处楼上打错)
因为A1=B1;A3=B3;A7=B5则可得 A1(1-q^2)=2d
A1(1-q^4)=6d比得
q^4-3q^2+2=0
(q^2-1)(q^2-2)=0
且2d=A1(q^2-1)因为公差不为零,所以q^2=2,
q=2^(1/2) (取 q>0,因 n>0)
d=A1/2带入An=Bm可得:A1+(n-1)(A1/2)=A1*q^(m-1)化简1/2*(1+n)= q^(m-1)即可解得
n=2*(2)^((m-1)/2) -1
(2)
将数列{As},{Bm}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{Cn},m为奇值,
公共项 Bm 为等比数列 (m为奇值) ,公共项 Cn=As=Bm,
As=a+(s-1)*a/2
Bm=a* (2)^((m-1)/2)
As=Bm=Cn
故Cn 为等比数列