题目

解关于x的不等式,log2 (x+1/x+6)

提问时间：2020-09-30

答案

显然,x不为0,否则原不等式没意义.
一、当x＞0时,由基本不等式,有：x＋1/x≧2,∴x＋1/x＋6≧8＝2^3.
　　而原不等式变换成指数形式,就是：x＋1/x＋6≦2^3.
　　x＋1/x＋6≧8＝2^3与x＋1/x＋6≦2^3要同时满足,只能是取等号,即x＋1/x≧2取等号,
　　∴x＝1/x,得：x＝1.
二、当x＜0时,由基本不等式,有：（－x）＋（－1/x）≧2,∴x＋1/x≦－2,
　　∴x＋1/x＋6≦4＜8＝2^3.
　　显然,这与原不等式变换成指数形式是一致的.但要使原不等式有意义,还需要：
　　x＋1/x＋6＞0,∴x^2＋6x＋1＜0,∴x^2＋6x＋9－8＜0,
　　∴（x＋3）^2－8＜0,∴（x＋3＋2√2）（x＋3－2√2）＜0,
　　∴－2√2－3＜x＜2√2－3.
综上一、二所述,原不等式的解是x＝1和x∈（－2√2－3,2√2－3）.