题目

椭圆x²／25+y²/9＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则绝对值ON＝

提问时间：2020-09-30

答案

椭圆x²／25+y²/9＝1上的一点M到左焦点F₁的距离为2,N是MF₁的中点,则∣ON∣＝?
椭圆参数：a=5,b=3,c=4；左焦点F₁(-4,0)；
把椭圆方程改写成参数形式：x=5cost,y=3sint,设M点的坐标为(5cost₁,3sint₁).
依题意有等式：√[(5cost₁+4)²+9sin²t₁)]=2；平方去根号并展开整理得：
25cos²t₁+40cost₁+9sin²t₁+12=0；用sin²t₁=1-cos²t₁代入得：
16cos²t₁+40cost₁+21=(4cost₁+7)(4cost₁+3)=0,故cost₁=-3/4.
N是MF₁的中点,故N的横坐标m=(5cost₁-4)/2,N的纵坐标n=(3/2)sint₁；
∴∣ON∣=√[(5cost₁-4)²/4+(9/4)sin²t₁]
即4∣ON∣²=(5cost₁-4)²+9sin²t₁=25cos²t₁-40cost₁+16+9sin²t₁
=16cos²t₁-40cost₁+25=16×(-3/4)²-40×(-3/4)+25=9+30+25=64
故∣ON∣²=16,∣ON∣=4.