题目

如图,已知矩形ABCD延长CB到E,使CE=CA,F是AE中点,求证：BF垂直FD

提问时间：2020-09-30

答案

证明：过F做FG‖AD,连接CF.
在直角梯形ADCE中,
∵FG‖AD,F为AE的中点
∴G点为CD的中点,且FG⊥CD
∴FD=FC,∠FDC=∠FCD（垂直平分线的性质）
又∵∠ADC=∠BCD=90°（矩形的性质）,即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质）
又∵AD=BC（矩形的性质）
∴△ADF≌△BCF(SAS)
∴∠AFD=∠BFC(全等三角形对应角相等）
在三角形ACE中,AC=CE,点F为AE的中点（已知）
∴CF⊥AE（等角三角形的性质）
即：∠AFD+∠CFD=∠BFC+∠BFE=90°
∵∠AFD=∠BFC（已证）
∴∠CFD+∠BFC=∠BFD=90°（等量代换）
即：BF⊥FD