题目

例：已知在椭圆 E:(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) =1(a>b>0)中,以 F1( -c,0)为圆心,a - c 为半径作圆 F1,过点 B2(0,b)作圆 F1 的两条切线,设切点分别为M,N两点.若过两点切点M,N的直线恰好经过点 B1( 0,-b ),则椭圆 E 的离心率.这是三明市质检的一道选择题
圆 F1:( x + c )^2 + y^2 = (a - c)^2.
设M(x1,x2),N(x2+y2),
则切线B2M:(x1+c)(x+c)+y1y=(a - c)^2,
则切线B2N:(x2+c)(x+c)+y2y=(a - c)^2.
又两条切线过B2（0,b）,所以c(x1+c)+y1b=(a-c)^2,c(x2+c)+y2b=(a-c)^2.所以c(x+c)+yb=(a-c)^2就是过MN的直线,又MN过B1（0,-b）,代入化简得c^2-b^2=(a-c)^2,所以e=3^1/2-1
(x1+c)(x+c)+y1y=(a - c)^2,
:(x2+c)(x+c)+y2y=(a - c)^2,没见过这么表示的麻烦解释一下.还有的我思路是：易得MN垂直于B2F1,B2F1的斜率为b/c,所以MN的斜率为-c/b,所以只需求出MN中点,再用点斜式表示MN,将B1代入即可求出关系.所以,等价于RT：如何求圆外一点与圆的两条切线的的交点连线的直线方程,这个不明.还是说有其他办法?还有没其他思路.高考应该不会考没教过的直线表示形式吧.

提问时间：2020-09-30

答案

方法还是存在的.假如按照你的说法,理论上也是可以计算出结果的,只是有点烦而已,当然,实际考试中肯定不会这么烦的.
提供给好学者一个我认为命题者可能想考察的方法,如下：
设B2F1与MN的交点为P,在直角三角形F1MB2中,利用射影定理,有(MF1)²=(F1P)×(F1B2)=(F1P)×a,从而F1P=[(a－c)²]/a,这里的F1P就是点(－c,0)到直线MN(过点B2的)的距离,MN的方程是：y=－(c/b)x－b,化简得：cx＋by＋b²=0,从而F1P=|－c²＋b²|/[√(b²＋c²)]=[(a－c)²]/a,即(a－c)²=|－c²＋b²|=|2c²－a²|,到这里应该可以计算离心率e的值了.