题目

如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=______时，四边形ABDC的周长最短．

提问时间：2020-09-29

答案

作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B'（5，3），连接BB′，与x轴交于点D，如图，
∴CA′=CA，
又∵C（a，0），D（a+3，0），
∴CD=3，
∴A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC为平行四边形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此时AC+BD最小，
而CD与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（4，-1）、B'（5，3）分别代入得，
4k+b=-1，5k+b=3，
解得k=4，b=-17，
∴直线BB′的解析式为y=4x-17，
令y=0，则4x-17=0，
解得x=

17

4

，
∴D点坐标为（

17

4

，0），
∴a+3=

17

4

，
∴a=

5

4

．
故答案为

5

4

．

作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（2，3），把A′向右平移3个单位得到点B'（5，3），连接BB′，与x轴交于点D，易得四边形A′B′DC为平行四边形，得到CA′=DB′=CA，则AC+BD=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AC+BD最小，即四边形ABDC的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=4x-17，易得D点坐标为（

17

4

，0），则有a+3=

17

4

，即可求出a的值．

本题考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

考点点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．