题目

已知i,j是x,y轴正方向的单位向量,设向量a=（x-根号3）i+yj,向量b=（x+根号3）i+yj,且满足向|a|+|b|=4
求点P（x,y）的轨迹方程

提问时间：2020-09-29

答案

方法一:利用椭圆的第一定义
已知:a = (x - √3,y),b = (x + √3,y)
且|a| + |b| = 4
则√[(x - √3)² + y²] + √[(x + √3)² + y²] = 4
根据椭圆的第一定义,
可看作为动点(x,y)到两定点(√3,0),(-√3,0)的距离和为4
则2a = 4,c = √3
由b² = a² - c²
得b = 1
所以点P（x,y）的轨迹方程为x²/a² + y²/b² = 1
得x²/4 + y² = 1
方法二:直接化简
√[(x - √3)² + y²] + √[(x + √3)² + y²] = 4
√[(x - √3)² + y²] = 4 - √[(x + √3)² + y²]
两边平方:
(x - √3)² + y² = 16 - 8√[(x + √3)² + y²] + (x + √3)² + y²
化简:
2√[(x + √3)² + y²] = √3x + 4
两边平方:
4[(x + √3)² + y²] = (√3x + 4)²
化简:
x² + 4y² = 4