题目

（理科）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为

2 3

3

的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为 ___ ．

提问时间：2020-09-29

答案

由题意，此问题的实质是以A为球心、

2 3

3

为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=

3

3

，故各段弧圆心角为

π

2

．∴这条曲线长度为3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π
故答案为

5 3

6

π

本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．

本题考点：弧长公式；棱柱的结构特征．

考点点评：本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．