题目

定义在R上的函数f（x）,对任意的实数x,y,恒有f（x）+f（y）=f（x+y）,且当x＞0时,f（x）＜0.又f（1）=-2/3
（1）求证,f（X）是奇函数
（2）求证：f（x）在R上是减函数
（3）求函数f（x）在【-3,3】上的值域 （主要是求出解析式很重要

提问时间：2020-09-28

答案

（1）在恒等式f(x)+f(y) =f(x+y),x,y∈R中,
令x=y=0,得f(0)=0,
再令y= -x,由f(0)=0,
得f(x)+f(-x)=0,即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.
（2）设x1,x2∈R,且x1=x2+△x,（△x>0）,
则x1>x2,
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x>0时,f(x)0,
∴f(△x)