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题目
如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.

(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
(3)连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.

提问时间:2020-09-28

答案
(1)由题意可设抛物线的解析式为
y=a(x-2)2+1
∵抛物线过原点,
∴0=a(0-2)2+1,
a=-
1
4

抛物线的解析式为y=-
1
4
(x-2)2+1,
即y=-
1
4
x2+x
(2)如图1,当四边形OCDB是平行四边形时,CD=OB,
由0=-
1
4
(x-2)2+1得x1=0,x2=4,
∴B(4,0),OB=4.
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6.
将x=6代入y=-
1
4
(x-2)2+1,得y=-3,
∴D(6,-3);
根据抛物线的对称性可知,
在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(-2,-3),
当四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
(3)不存在.
如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO.
若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,-1)
∴直线OP的解析式为y=-
1
2
x
由-
1
2
x=-
1
4
x2+x,得x1=0,x2=6.
∴P(6,-3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3,
∴PB=
举一反三
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