题目
如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
提问时间：2020-09-28
答案
（1）由题意可设抛物线的解析式为
y=a（x-2）2+1
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）2+1，
∴a=-
．
抛物线的解析式为y=-
（x-2）2+1，
即y=-
x2+x
（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，
由0=-
（x-2）2+1得x1=0，x2=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6．
将x=6代入y=-
（x-2）2+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（-2，-3），
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）
（3）不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′（2，-1）
∴直线OP的解析式为y=-
x
由-
x=-
x2+x，得x1=0，x2=6．
∴P（6，-3）
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=
y=a（x-2）2+1
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2）2+1，
∴a=-
| 1 |
| 4 |
抛物线的解析式为y=-
| 1 |
| 4 |
即y=-
| 1 |
| 4 |
（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，
由0=-
| 1 |
| 4 |
∴B（4，0），OB=4．
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6．
将x=6代入y=-
| 1 |
| 4 |
∴D（6，-3）；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（-2，-3），
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）
（3）不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′（2，-1）
∴直线OP的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
由-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴P（6，-3）
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程． 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好 奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看? 想找英语初三上学期的首字母填空练习…… 英语翻译 最新试题
热门考点
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.
|