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题目
如图,已知点A在双曲线y=
6
x
上,且OA=4,过A作AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B,则△AOC的面积=______;△ABC的周长为______.

提问时间:2020-09-27

答案
∵点A在双曲线y=
6
x
上,过A作AC⊥x轴于C,
∴△AOC的面积=
1
2
|k|=3;
设点A的坐标为(x,y).
∵点A在第一象限,
∴x>0,y>0.
∵OA的垂直平分线交OC于B,
∴AB=OB,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y.
∵点A在双曲线y=
6
x
上,且OA=4,
y=
6
x
x2+y2=16②

由①得,xy=6③,
③×2+②,得x2+2xy+y2=28,
∴(x+y)2=28,
∵x>0,y>0,
∴x+y=2
7

∴△ABC的周长=2
7

故答案为:3,2
7
首先由反比例函数比例系数k的几何意义,直接得出△AOC的面积=
1
2
|k|=3;
如果设A(x,y),那么由线段垂直平分线的性质可知AB=OB,则△ABC的周长=OC+AC=x+y.由点A在双曲线y=
6
x
上,且OA=4,可列出方程组,运用完全平方公式将方程组变形,求出x+y的值,从而得出结果.

反比例函数综合题;三角形的面积;线段垂直平分线的性质.

此题综合考查了反比例函数的性质,线段垂直平分线的性质,完全平方公式等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识点的灵活应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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