题目

证明魏尔斯特拉斯函数?简洁些

提问时间：2020-09-26

答案

由于无穷级数的每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 \sum_{n=0} ^\infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)都是{\mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{\mathbb R}上的连续函数.
　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x \in {\mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x'_n),使得
　　:\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
　　这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕