题目
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
提问时间:2020-09-25
答案
证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2,
∵(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2,
a3+c3≥a2c+ac2,
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
∵(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2,
a3+c3≥a2c+ac2,
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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