题目

已知函数f（x）=

− 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. [-

2

3

，1]
B. [

1

2

，

4

3

]
C. [

4

3

，

3

2

]
D. [

1

3

，2]

提问时间：2020-09-19

答案

当x∈[0，

1

2

]时，y=

1

6

-

1

3

x，值域是[0，

1

6

]；
x∈（

1

2

，1]时，y=

2x3

x+1

，y′=

4x3+6x2

(x+1)2

＞0恒成立，故为增函数，值域为（

1

6

，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），
为增函数，值域是[2-2a，2-

3a

2

]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，
则2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即a＜

1

2

，或a＞

4

3

．
∴a的取值范围是[

1

2

，

4

3

]．
故选：B．

根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x₁）=g（x₂）成立，推断出[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．

本题考点：分段函数的应用．

考点点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．