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题目
已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.

提问时间:2020-09-18

答案
(Ⅰ)由题f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c-16
f′(2)=0
f(2)=c−16
,即
12a+b=0
8a+2b+c=c−16
,化简得
12a+b=0
4a+b=−8

解得a=1,b=-12
(II)由(I)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
令f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)=0,解得x1=-2,x2=2
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在∈(-∞,-2)上为增函数;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数;
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16,
由题设条件知16+c=28得,c=12
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4
因此f(x)在[-3,3]上的最小值f(2)=-4
(Ⅰ)由题设f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函数在点x=2处取得极值c-16,可得
f′(2)=0
f(2)=c−16
解此方程组即可得出a,b的值;
(II)结合(I)判断出f(x)有极大值,利用f(x)有极大值28建立方程求出参数c的值,进而可求出函数f(x)在[-3,3]上的极小值与两个端点的函数值,比较这此值得出f(x)在[-3,3]上的最小值即可.

利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值,解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c-16”,将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c-16两个等量关系,第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值.本题考查了转化的思想及方程的思想,计算量大,有一定难度,易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败,做题时要严谨认真,严防出现在失误.此类题是高考的常考题,平时学习时要足够重视.

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