题目
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
提问时间:2020-09-15
答案
(1)函数f(x)的定义域 为(0,+∞).
f′(x)=
-a=
(2分)
因为a>0,令f′(x)=
-a=0,可得x=
;
当0<x<
时,f′(x)=
>0;当x>
时,f′(x)=
<0,
故函数f(x)的单调递增区间为(0,
),单调递减区间为(
,+∞).(4分)
(2)①当0<
≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当
≥2,即0<a≤
时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<
<2,即
<a<1时,函数f(x)在(1,
)上是增函数,在(
,2)上是减函数.
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当
<a<ln 2时,f(x)的最小值是f(1)=-a;
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)
f′(x)=
1 |
x |
1−ax |
x |
因为a>0,令f′(x)=
1 |
x |
1 |
a |
当0<x<
1 |
a |
1−ax |
x |
1 |
a |
1−ax |
x |
故函数f(x)的单调递增区间为(0,
1 |
a |
1 |
a |
(2)①当0<
1 |
a |
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(6分)
②当
1 |
a |
1 |
2 |
∴f(x)的最小值是f(1)=-a.(8分)
③当1<
1 |
a |
1 |
2 |
1 |
a |
1 |
a |
又∵f(2)-f(1)=ln2-a,
∴当
1 |
2 |
当ln2≤a<1时,f(x)的最小值为f(2)=ln2-2a.(10分)
综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(x)min=ln2-2a.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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