题目

在三角形ABC中,若三边的长为连续整数,且最大角是最小角的三倍,求三边长.

提问时间：2020-09-15

答案

你确定题目没错吗?是三倍而不是二倍?
三倍的计算过程比二倍痛苦n倍,而且无解
无论如何,如果是三倍的话,计算过程如下：

由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
由题意设b=a+1 c=a+2
(1) 当A,B,C均为锐角时,由正弦函数在(0,π/2)上单调递增
最大角的正弦值最大,最小角的正弦值最小
最长边的对角为最大角,最短边的对角为最小角
(2) 当A,B,C中存在钝角时,显然钝角所对边为最长边.
同样有
最长边的对角为最大角,最短边的对角为最小角
故 C=3A
a*sinC=c*sinA 代入得
a*sin3A=(a+2)sinA
由三倍角公式sin3A=3*sinA-4*sin^3(A)
3a*sinA-4a*sin^3(A)=(a+2)sinA
(2a-2)sinA=4a*sin^3(A)
sin^2(A)=(a-1)/2a
cos^2(A)=1-sin^2(A)=(a+1)/2a
又由余弦定理
cosA=(b＾2+c＾2-a＾2)/2bc
=[(a+1)^2+(a+2)^2-a^2]/2(a+1)(a+2)
=(a^2+6a+5)/2(a+1)(a+2)
=(a+1)(a+5)/2(a+1)(a+2)
=(a+5)/2(a+2) (∵a≠-1)
故[(a+5)/2(a+2)]^2=(a+1)/2a
整理得
a^3-15a+8=0
无整数解.
原题无解
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如果是二倍的话,前面分析过程都一样,得到
b=a+1 c=a+2,C=2A
a*sinC=c*sinA 代入得
a*sin2A=(a+2)sinA
cosA=(a+2)/2a
又由余弦定理
cosA=(b＾2+c＾2-a＾2)/2bc =(a+5)/2(a+2)
故(a+2)/2a=(a+5)/2(a+2)
a=4
b=a+1=5
c=a+2=6