题目

已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则(a+b)²/ab的取值范围是

提问时间：2020-09-04

答案

已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则(a+b)²/ab的取值范围是?

最小值是a=b=c时候,得到最小值4

最大比较麻烦：

利用内切圆切线长代换

令

a=x+y

b=y+z

c=z+x

x,y,z>0

设x+y+z=1

b+c≤2a

2z≤x+y

c+a≤2b

2x≤y+z

M=(a+b)²/ab

=(x+2y+z)²/(y(x+y+z)+xz)

=(1+y)²/(y+xz)

当y固定时,

x+z=1-y也固定

2z≤x+y

2x≤z+y

所以当2/3>=y>1/3时候

xz>=(1/3)(-y+2/3)

M=(1+y)²/(y+xz)

<=(1+y)²/(y+(1/3)(-y+2/3))

=(3/2)(1+y)²/(y+1/3))

令y+1/3=t

1>=t>2/3

(3/2)(1+y)²/(y+1/3))

=(3/2)(t+2/3)²/t

=2+(3/2)[t+(4/9)(1/t)]

<=2+13/6

=25/6

当1>=y>2/3时候

xz>=0

M=(1+y)²/(y+xz)

<=(1+y)²/y=2+y+1/y<=2+2/3+3/2=25/6

但是如果y=2/3则要求x,z之一为0,所以25/6是上限,但是取不到.

所以综上,所求的范围是：

[4,25/6)