题目

.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f（x）小于等于0的解集...
.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f（x）小于等于0的解集为-1小于等于x小于等于3,x属于R（1）求函数f（x）的解析式（2）求函数g（x）=f（x）/x-4lnx的零点个数

提问时间：2020-09-02

答案

（1）∵f（x）是二次函数,且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）2-4]（a＞0）
∴f（x）min=-4a=-4
∴a=1
故函数f（x）的解析式为f（x）=x2-2x-3
（2）g（x）=
f(x)
x
-4lnx=x-
3
x
-4lnx-2（x＞0）,
∴g′（x）=
(x-1)(x-3)
x2
x,g′（x）,g（x）的取值变化情况如下：
x （0,1） 1 （1,3） 3 （3,+∞）
g′（x） + 0 - 0 +
g（x） 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加
当0＜x≤3时,g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e5）=e5-
3
e5
-20-2＞25-1-22=9＞0
故函数g（x）只有1个零点,且零点x0∈(3,e5)