题目
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2(0,根号3)为焦点,离心率为根号3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量OM=向量OA+向量OB,求
(1)点M的轨迹方程 (2)|向量OM|的最小值
(1)点M的轨迹方程 (2)|向量OM|的最小值
提问时间:2020-09-01
答案
因为 c^2=3 ,e^2=c^2/a^2=3/a^2=3/4 ,所以 a^2=4 ,
则 b^2=a^2-c^2=1 ,
因此椭圆的方程为 y^2/4+x^2=1 , (*)
设 P(x0,y0),则椭圆在 P 处的切线方程为 y0*y/4+x0*x=1 ,
令 y=0 得 A(1/x0 ,0),令 x=0 得 B(0,4/y0),
因此 OM=OA+OB=(1/x0,4/y0).
(1)设 M(x,y),则 x=1/x0 ,y=4/y0 ,
因此 x0=1/x ,y0=4/y ,
由于 x0、y0 满足 (*),
所以代入可得 4/y^2+1/x^2=1 ,这就是 M 的轨迹方程 .
(2)由于 y0^2/4+x0^2=1 ,
因此 |OM|^2=1/x0^2+16/y0^2
=(1/x0^2+16/y0^2)(x0^2+y0^2/4)
=1+4+16(x0/y0)^2+1/4*(y0/x0)^2
>=5+2*√(16/4)=9 ,
所以,|OM| 的最小值为 3 .
则 b^2=a^2-c^2=1 ,
因此椭圆的方程为 y^2/4+x^2=1 , (*)
设 P(x0,y0),则椭圆在 P 处的切线方程为 y0*y/4+x0*x=1 ,
令 y=0 得 A(1/x0 ,0),令 x=0 得 B(0,4/y0),
因此 OM=OA+OB=(1/x0,4/y0).
(1)设 M(x,y),则 x=1/x0 ,y=4/y0 ,
因此 x0=1/x ,y0=4/y ,
由于 x0、y0 满足 (*),
所以代入可得 4/y^2+1/x^2=1 ,这就是 M 的轨迹方程 .
(2)由于 y0^2/4+x0^2=1 ,
因此 |OM|^2=1/x0^2+16/y0^2
=(1/x0^2+16/y0^2)(x0^2+y0^2/4)
=1+4+16(x0/y0)^2+1/4*(y0/x0)^2
>=5+2*√(16/4)=9 ,
所以,|OM| 的最小值为 3 .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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