题目

求函数表达式
已知函数f(x) f'(x)=kf(x)+b k＜0 f（0）=0 f’（0）=3 就是（0 ,0）点切线斜率3 f（x）的渐近线为y=2 能求f（x）吗

提问时间：2020-08-28

答案

因为f'(x)=kf(x)+b,且f（0）=0,f’（0）=3
所以3=f'(0)=kf(0)+b=b
又因为 f（x）的渐近线为y=2,所以当x接近正无穷或者负无穷时,f‘（x）=0,f（x）=2
带入f'(x)=kf(x)+3
可得k=-3/2
所以f'(x)=-3/2 *f(x)+3
所以可写作dy/dx=3-3y/2
所以dy/（3-3y/2）=dx
两边求积分可得-2ln（3-3y/2）/3=x+C （C是常数）
因为f（0）=0,
所以C=-（2ln3）/3
所以-2ln（3-3y/2）/3=x-（2ln3）/3
所以ln（3-3y/2）=-3x/2 +ln3
所以e^(-3x/2 +ln3)=3-3y/2
所以y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
验算f ’（x）=-2e^(-3x/2 +ln3)/3 *（-3/2）=e^(-3x/2 +ln3)
-3/2 *f(x)+3=-3/2 *（2-2e^(-3x/2 +ln3)/3）+3=e^(-3x/2 +ln3)
f（0）=2-2e^(ln3)/3=0
因为f ’（x）=e^(-3x/2 +ln3)
所以f’（0）=e^(ln3)=3.
所以函数y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
符合条件f'(x)=kf(x)+b k＜0
f（0）=0
f’（0）=3
f（x）的渐近线为y=2.