题目
有关数列的一道题
在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数
1)求a2 a3 的值
2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列
3)求数列an的前n项和Sn
在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数
1)求a2 a3 的值
2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列
3)求数列an的前n项和Sn
提问时间:2020-08-27
答案
(1)
a2=2*(-3)+2^2+3=1
a3=2*1+2^3+3=13
(2)
an+3=2(an-1+3)+2^n
两边同时除以2^n
(an+3)/2^n=(an-1+3)/2^(n-1)+1
即bn=bn-1+1
b1=(a1+3)/2=0
所以bn=n-1,bn是等差数列
(3)
bn=(an+3)/2^n
n-1=(an+3)/2^n
an=(n-1)2^n-3=n·2^n-2^n-3
Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
∑2^n=2+2²+2³+...+2^n=2^(n+1)-2
∑n·2^n=1×2+2×4+3×8+...+(n-1)·2^(n-1)+n·2^n -------①
2∑n·2^n=1×4+2×8+3×16+...+(n-1)·2^n+n·2^(n+1)-------②
两式相减得
∑n·2^n=n·2^(n+1)-(2^n+2^(n-1)+...+8+4+2)=n·2^(n+1)-∑2^n
∴Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
=n·2^(n+1)-2∑2^n-3n
=n·2^(n+1)-2*[2^(n+1)-2]-3n
=(n-2)2^(n+1)-3n+4
所以Sn=(n-2)2^(n+1)-3n+4
a2=2*(-3)+2^2+3=1
a3=2*1+2^3+3=13
(2)
an+3=2(an-1+3)+2^n
两边同时除以2^n
(an+3)/2^n=(an-1+3)/2^(n-1)+1
即bn=bn-1+1
b1=(a1+3)/2=0
所以bn=n-1,bn是等差数列
(3)
bn=(an+3)/2^n
n-1=(an+3)/2^n
an=(n-1)2^n-3=n·2^n-2^n-3
Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
∑2^n=2+2²+2³+...+2^n=2^(n+1)-2
∑n·2^n=1×2+2×4+3×8+...+(n-1)·2^(n-1)+n·2^n -------①
2∑n·2^n=1×4+2×8+3×16+...+(n-1)·2^n+n·2^(n+1)-------②
两式相减得
∑n·2^n=n·2^(n+1)-(2^n+2^(n-1)+...+8+4+2)=n·2^(n+1)-∑2^n
∴Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
=n·2^(n+1)-2∑2^n-3n
=n·2^(n+1)-2*[2^(n+1)-2]-3n
=(n-2)2^(n+1)-3n+4
所以Sn=(n-2)2^(n+1)-3n+4
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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