题目

设n为正整数，且64ⁿ-7ⁿ能被57整除，证明：8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

提问时间：2020-08-26

答案

证明：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，
∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ
=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ
=57（8m+7ⁿ），
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．