题目

设P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)与圆x^2+y^2=a^2+b^2在第一象限的交点,F1 F2分别是双曲线左右焦点,且
|PF1|＝3|PF2|,求双曲线离心率.

提问时间：2020-08-25

答案

由题目所给条件可以知道圆x^2+y^2=a^2+b^2是以F1F2（2c）为直径的圆,其与双曲线的交点P,有PF1⊥PF2（直径所对的角是直角）
我们设PF1=3x PF2=x （|PF1|＝3|PF2|）
则根据双曲线的性质：有|PF1|-|PF2|=2a 即 x=a
又 根据勾股定理：|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2 所以有 10x^2=4c^2
所以就有e^2=10/4
所以e=根号10/2