题目
已知函数f(x)=sin(x-π/6)+cos(x-π/3).g(x)=2sin²x/2 (1)若α是第一象限角,且f(α)=(3√3)/5,求g(x)的值,(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
提问时间:2020-08-21
答案
(1)
f(x)=sin(x-π/6)+cos(x-π/3),g(x)=2sin²x/2
f(x)=sinxcosπ/6-cosxsinπ/6+cosxcosπ/3+sinxsinπ/3
=√3sinx
∴f(α)=√3sinα=3√3/5
∴sinα=3/5
∵α是第一象限角
∴cosα=4/5
∴sin²α/2=(1-cosα)/2=1/5
∴g(α)=2sin²α/2=2/5
(2)
f(x)≥g(x)即√3sinx≥2sin²x/2
即√3sinx≥1-cosx
∴√sinx+cosx≥1
两边同时除以2
√3/2sinx+1/2cosx≥1/2
即sin(x+π/6)≥1/2
∴2kπ+π/6≤x+π/6≤2kπ+5π/6
∴x集合为{x}2kπ≤x≤2kπ+2π/3,k∈Z}
f(x)=sin(x-π/6)+cos(x-π/3),g(x)=2sin²x/2
f(x)=sinxcosπ/6-cosxsinπ/6+cosxcosπ/3+sinxsinπ/3
=√3sinx
∴f(α)=√3sinα=3√3/5
∴sinα=3/5
∵α是第一象限角
∴cosα=4/5
∴sin²α/2=(1-cosα)/2=1/5
∴g(α)=2sin²α/2=2/5
(2)
f(x)≥g(x)即√3sinx≥2sin²x/2
即√3sinx≥1-cosx
∴√sinx+cosx≥1
两边同时除以2
√3/2sinx+1/2cosx≥1/2
即sin(x+π/6)≥1/2
∴2kπ+π/6≤x+π/6≤2kπ+5π/6
∴x集合为{x}2kπ≤x≤2kπ+2π/3,k∈Z}
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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