题目

求证：定义域为R的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和

提问时间：2020-08-16

答案

证明：假设定义域为R的函数f（x)可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和∴
∴f(x)=g(x)+h(x).①
f(-x)=g(-x)+h(-x)
又g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x).②
由①②知,h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
检验：h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)
g(x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(-x)
∴定义域为R的函数f（x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和
,且h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2