题目

几个高二数学问题（圆锥曲线）(截止11月18日晚
1.设动点P到点A（-1,0）和B（1,0）的距离为m,n,∠APB=2θ,且存在常数λ
（0＜λ＜1）,使得m·n·sin²θ=λ.
①证明：P轨迹为双曲线且求C的方程
②过点B作直线交双曲线右焦点于G,H两点,求λ范围使 向量OG·向量OH=0,其中O为原点
2.椭圆X^2／a^2+Y^2／b^2=1（a＞b＞0),离心率e=（根号6）／3,过点A（0,-6）和B（a,0）的直线与原点的距离为（根号3）／2
①求椭圆方程
②已知E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D两点,问是否存在k使CD为直径的圆过E点,为什么?
3.设椭圆E：X^2／a^2+Y^2／b^2=1（a＞0,b＞0),过点M（2,根号2）,
N（根号6,1）两点,O为原点
①求E的方程
②是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个焦点,且
向量OA⊥向量OB,若存在,求出该圆的方程,并求出 lABl 取值范围
4.已知双曲线C的方程为Y^2／a^2-X^2／b^2=1（a＞0,b＞0),e=（根号5）／2,
顶点到渐近线距离为（2倍根号5）／5.
①求C的方程
②P是双曲线上一点,A,B两点在C的两条渐近线上,且分别在一,二象限,若
向量AP=λ向量PB,λ∈[1／3,2],求三角形AOB范围
5.椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴,过左焦点F1直线交于椭圆：P,Q,
且OP⊥OQ,求e的范围
6.⊿ABC的内切圆与三边AB,BC,AC切点分别为D,E,F.B（负根号2,0）
C（根号2,0）,内切圆圆心G（1,t）（t≠0）.设点A轨迹为L
①求L的方程
②过点C作直线L交于M,N两点,问在x轴是否存在异于C点的Q使
（向量QM· 向量QC）／IQMI=（向量QN· 向量QC）／IQNI.对于任意直线m成立,若存在,求Q坐标,若不存在,为什么
（能回答一题是一题,不要只给一个答案,

提问时间：2020-08-13

答案

第一题：1.证明：在三角形PAB中,对角APB用余弦定理：cos角APB=[m^2(表示m的平方,以后均是)+n^2-4]/2mn及cos2θ=1-2(sinθ)^2=上式化简得 m^2+n^2-4=2mn-4mnsin²θ=2mn-4λ.(m-n)^2=4-4λ m-n的绝对值=2（根号1-...