题目

设A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B（　　）
A. B＞60°
B. B≥60°
C. B＜60°
D. B≤60°

提问时间：2020-08-13

答案

A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，
故有△=（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0．
根据正弦定理得：（a-c）²-4（b-a）（c-b）=a²+c²-2ac-4（bc-b²-ac+ab）=（a²+c²+2ac）-4（ab+bc）+4b²
=（a+c）²-4b（a+c）+4b²=（a+c-2b）²=0，
即a+c=2b．
∴cosB=

a2+c 2−b2

2ac

=

(a+c)2−2ac−b2

2ac

=

3b2−2ac

2ac

=

3

2

•

b2

ac

-1，
∵（2b）²=（a+c）²≥4ac，∴b²≥ac，∴

3

2

•

b2

ac

-1≥

3

2

-1=

1

2

．
又∵-1＜cosB＜1，∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤60°，
故选D．