题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,①若Sn=An²+Bn（A≠0）,证明：{an}是公差部位0的等差数列
②若Sn=An²+Bn+C（AC≠0）,请计算说明{an}是否仍为等差数列

提问时间：2020-08-13

答案

（1）
Sn=An^2+Bn
S(n+1)=A(n+1)^2+B(n+1)
S(n-1)=A(n-1)^2+B(n-1)
所以a(n+1)=S(n+1)-Sn=An^2+2An+A+Bn+B-An^2-Bn=2An+A+B
an=Sn-S(n-1)=An^2+Bn-An^2+2An-A-Bn+B=2An-A+B
所以a(n+1)-an=2An+A+B-2An+A-B=2A为常数
因为A≠0
所以{an}是公差不为0的等差数列
（2）
若Sn=An²+Bn+C
S(n+1)=A(n+1)^2+B(n+1)+C
S(n-1)=A(n-1)^2+B(n-1)+C
所以a(n+1)=S(n+1)-Sn=An^2+2An+A+Bn+B+C-An^2-Bn-C=2An+A+B
an=Sn-S(n-1)=An^2+Bn+C-An^2+2An-A-Bn+B-C=2An-A+B
所以a(n+1)-an=2An+A+B-2An+A-B=2A为常数
{an}是等差数列