题目

令f（x，y）=

ln(1+xy) x ，x≠0 y，             x＝0

，证明f（x，y）在其定义域上是连续的．

提问时间：2020-08-13

答案

证明：f（x，y）的定义域D={（x，y）：xy＞-1}，
显然f（x，y）在（x，y）∈D，（x≠0）处可导，则一定连续，
现在判断f（x，y）在（0，0）处的连续性：

lim

x，y→0−

f(x，y)=

lim

x，y→0+

f(x，y)＝

lim

x，y→0+

ln(1+xy)

x

＝

lim

x，y→0+

x+y

1+xy

=0
因为：f（0，0）=0
所以f（x，y）在（0，0）处连续．
所以f（x，y）在定义域内连续．
原命题成立．

对于分段二元函数判断其连续性，需要分段判断．函数间断点需单独若左右极限是否相等且等于该点函数值，则函数在该点连续；其余区域若函数可导，则一定连续．

本题考点：函数连续的定义；连续函数与连续区间的定义；连续函数的性质；分部积分法．

考点点评：考察判断分段二元函数其连续性的方法，需要分段判断．注意函数间断点需单独分析：若左右极限是否相等且等于该点函数值，