题目

已知n为正整数，且2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数，则n的值为 ___ ．

提问时间：2020-08-12

答案

（1）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴
=2²+2•2•2^n-2+（2¹⁰⁰⁷）²
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．
∴2^n-2=2¹⁰⁰⁷
即n-2=1007．
∴当n=1009时，2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数；
（2）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴=2²+2²⁰¹⁴+2ⁿ，
=2²+2•2•2²⁰¹²+2ⁿ，
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一个完全平方数．
∴2012×2=n
∴n=4024．
综上得n=1009或n=4024，
故答案为：1009或4024．