题目
求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项
提问时间:2020-08-12
答案
假设该双曲线是x^2-y^2=a^2,则可知双曲线的离心率e=√2.便于研究,我们可以设一点P(x0,y0)在双曲线的右支,且在第一象限.双曲线的对称中心就是O点嘛,双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),则向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半径PF1=ex0+a,焦半径PF2=ex0-a,点F1、O、F2三点共线,且O是线段F1F2的中点,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好这些准备工作后就可以开始解题了.
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证.
此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证.
此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1算36点 (1)12,13,14,16 (2)3,16,17,25 (3)5,5,9,9 (4)9,10,11,13 (5)4,6,12,21 (6)7,7,7,13(7)5,5,5,11(8)3,6
- 2一个有趣的中国人 用英语怎么翻译
- 3将下列诗词补充完整,说说诗词中描写的是哪个季节的什么景物?
- 4两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的20倍,这两个数相差七,者两个数是多少?
- 5孔子创立了“诸子百家”中那一学派?战国时期谁发展了孔子的思想?
- 6狼王梦的阅读心得 150字左右
- 76.3.4.3.怎么组成24点啊
- 8《曹刿论战》中未可、可矣,可以看出曹刿是一个怎样的人?请简要分析
- 9英语翻译
- 10在△ABC中,已知A+B=2B,A的正切值×C的正切值=2+根号3,求A,B,C值
热门考点
- 1求一个词语,形容好的东西还要有好的包装
- 2在括号里天上表示看的词语,不能重复.
- 3乙数是甲数的3分之2,丙数是乙数的80%,丙数是甲数的百分之几?保留一位小数
- 4马里亚纳海沟最新测量深度为多少米
- 5ABCD的四字成语
- 6下列变化属于吸热反应的是( ) ①液态水汽化 ②将胆矾加热变成白色粉末 ③浓硫酸稀释 ④氯酸钾分解制氧气 ⑤生石灰跟水反应生成熟石灰. A.①④ B.②③ C.①④⑤ D.②④
- 7徐子曰:仲尼亟称于水······声闻过情,君子耻之.这段话的译文
- 889×99+89简便计算
- 9I do you believe是什么意思
- 10调查过程一般分为以下几步进行:第一步: ;第二步: ;第三步: ;第四步: . 初一数学暑假生活上的