题目

若函数f（x）=ln（ae^x-x-3）的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-08-11

答案

∵f（x）=ln（ae^x-x-3）的定义域为R，
∴ae^x-x-3＞0的解集是R，即a＞

x+3

ex

恒成立．
设g（x）=

x+3

ex

，则g'（x）=

−x−2

ex

，当x＜-2时g'（x）＞0，当x＞-2时g'（x）＜0，
故g（x）在（-∞，-2）是增函数，在（-2，+∞）上是减函数，
故当x=-2时，g（x）取得最大值g（-2）=e²，
∴a＞e²．
故答案为：（e²，+∞）．

f（x）=ln（ae^x-x-3）的定义域为R等价于ae^x-x-3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．

本题考点：函数的定义域及其求法．

考点点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．