题目
求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.
即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
提问时间:2020-08-11
答案
对于任意整数i,有
(1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n(1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
(1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
(1+2)² - (1)² = 2 ³
(1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
(1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
(1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³
即
(1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³
(1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n(1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
(1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
(1+2)² - (1)² = 2 ³
(1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
(1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
(1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³
即
(1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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