题目
已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.
提问时间:2020-08-11
答案
(1)当a=0时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞).
f'(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1.-------------(3分)
x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数.x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数;-------------(6分)
(2)由f(1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xlnx,
由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥lnx,
又∵x>0,∴b≤1−
−
恒成立,-------------(9分)
令g(x)=1−
−
,可得g′(x)=
,∴g(x)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.
∴g(x)min=g(1)=0
即b≤0,即b的取值范围是(-∞,0].----------(12分)
f'(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1.-------------(3分)
x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数.x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数;-------------(6分)
(2)由f(1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xlnx,
由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥lnx,
又∵x>0,∴b≤1−
1 |
x |
lnx |
x |
令g(x)=1−
1 |
x |
lnx |
x |
lnx |
x2 |
∴g(x)min=g(1)=0
即b≤0,即b的取值范围是(-∞,0].----------(12分)
(1)求导数,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;
(2)由已知,求得f(x)=x2+x-xlnx.将不等式f(x)≥bx2+2x恒成立转化为b≤1−
−
恒成立.构造函数g(x)=1−
−
,只需b≤g(x)min即可,因此又需求g(x)min.
(2)由已知,求得f(x)=x2+x-xlnx.将不等式f(x)≥bx2+2x恒成立转化为b≤1−
1 |
x |
lnx |
x |
1 |
x |
lnx |
x |
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
本题考查导数知识的应用,考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握函数恒成立时所取的条件,是一道综合题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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