题目

如图，已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x

（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式并画出简图；
（3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．

提问时间：2020-08-11

答案

（1）∵当x≥0时，f（x）=x²-2x
∴f（1）=1²-2=-1
f（2）=2²-2×2=0
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0    …..（3分）
（2）当x≤0时，-x≥0 
于是f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（x）=x²+2x（x≤0）
∴f（x）=

x2−2x，x≥0 x2+2x，x＜0

 …..（7分）
其图象如下图所示：

（3）由（2）中函数f（x）的图象可得：
当k＜-1时，方程无实根
当k=-1，或k＞0时，有2个根；
当k=0时，有3个根；
当-1＜k＜0时，有4个根；         …..（14分）

（1）由x≥0时，f（x）=x²-2x，可求出f（1），f（2）的值，进而根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（-2）=f（2）得到答案；
（2）根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，先求出函数的y=f（x）的解析式（分段函数的形式），进而根据分段函数的图象分段画的原则，结合二次函数的图象可得答案．
（3）根据（2）中函数的图象，即可分析出k取不同值时，方程f（x）=k的根的情况．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数的值．

考点点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质及函数的值，其中根据已知条件结合函数的奇偶性的定义，求出函数的解析式是解答本题的关键．