题目

求数列1,3a,5a^2,7a^3,.(an-1)a^(n-1)前n项和
这个式子很难化简，

提问时间：2020-08-10

答案

设1+3a+5a^2+7a^3+.(2n-1)a^(n-1)=x (1)
两面同乘a
a+3a^2+5a^3+.(2n-3)a^(n-1)+(2n-1)a^n=a*x (2)
(1)-(2)得
1+[2a+2a^2+2a^3+.2a^(n-1)]-(2n-1)a^n =x*(1-a)
整理
1-(2n-1)a^n+2*[a+a^2+a^3.+a^n-1]=x(1-a) (3)
设 a+a^2+a^3.+a^n-1=y 两面同乘a
a^2+a^3.+a^n-1+a^n=ay
两式相减,得
a-a^n=(1-a)*y
y=(a-a^n)/(1-a) 代入（3）中
1-(2n-1)a^n+2*[(a-a^n)/(1-a)]=x(1-a)
[1-(2n-1)a^n+2*[(a-a^n)/(1-a)]]
x= ------------------------------------
(1-a)
[(1-(2n-1)a^n)*(1-a)+2*[(a-a^n)]
x= ------------------------------------
(1-a)^2
[(2n-1)a^(n+1)-(2n+1)*a^n+a+1]
x=-----------------------------------------
(1-a)^2
式子有点乱,只检验了n=1,2的情况,正确.