题目
如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.试证明:无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的
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提问时间:2020-08-10
答案
(1)当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1,OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时,
显然S两个正方形重叠部分=
S正方形ABCD;
(2)当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠OAB=∠OBF=45°,OA=OB
BO⊥AC,即∠AOE+∠EOB=90°,
又∵四边形A′B′C′O为正方形,
∴∠A′OC′=90°,即∠BOF+∠EOB=90°,
∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,
,
∴△AOE≌△BOF(ASA),
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF,
又S△AOE=S△BOF
∴S两个正方形重叠部分=SABO=
S正方形ABCD.
综上所知,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的
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显然S两个正方形重叠部分=
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(2)当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠OAB=∠OBF=45°,OA=OB
BO⊥AC,即∠AOE+∠EOB=90°,
又∵四边形A′B′C′O为正方形,
∴∠A′OC′=90°,即∠BOF+∠EOB=90°,
∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,
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∴△AOE≌△BOF(ASA),
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF,
又S△AOE=S△BOF
∴S两个正方形重叠部分=SABO=
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综上所知,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的
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分两种情况探讨:(1)当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时;(2)当转到一般位置时,由题求证△AEO≌△BOF,故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积,得出结论.
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此题考查正方形的性质,三角形全等的判定与性质,三角形的面积等知识点.
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