题目

如图，已知二次函数y=x²-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax²+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax²+bx的关系式．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴顶点A的坐标为（1，-2）．
∵二次函数y=ax²+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上．
∴二次函数y=ax²+bx的对称轴为：直线x=1，
∴点C和点O关于直线x=1对称，
∴点C的坐标为（2，0）．
（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，
因此，点B的坐标为（1，2）．
因为二次函数y=ax²+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），
所以

a+b＝2 4a+2b＝0

，
解得

a＝−2 b＝4

，
所以二次函数y=ax²+bx的关系式为y=-2x²+4x．

（1）二次函数y=ax²+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴．根据函数解析式得出顶点A的坐标与对称轴，故可得出二次函数y=ax²+bx关于x=1对称，且函数与x轴的交点分别是原点和C点，所以点C和点O关于直线l对称，故可得出点C的坐标；
（2）因为四边形AOBC是菱形，根据菱形性质，可以得出点O和点C关于直线AB对称，点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点B的坐标，根据二次函数y=ax²+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），将B，C代入解析式得出ab的值，进而得出其解析式．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查利用二次函数和菱形的对称性求有关的点，再用待定系数法求二次函数解析式，是难度中等的考题．