题目

已知数列{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a₂+a₇=16，
得2a₁+7d=16①
由a₃a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①②联立方程求得
得d=2，a₁=1或d=-2，a₁=

20

7

（排除）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令c_n=

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n
a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1
两式相减得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，即c_n=2（n≥2），
即当n≥2时，
b_n=2ⁿ⁺¹，又当n=1时，b₁=2a₁=2
∴b_n=

2，(n=1) 2n+1，(n≥2)

于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-6，n≥2，
Sn=

2     n=1 2n+2-6   n≥2

．

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，分别表示出a₂a₆=55，a₂+a₇=16联立方程求得d和a₁进而根据等差数列通项公式求得a_n．
（2）令c_n=

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1两式相减得c_n+1等于常数2，进而可得b_n，进而根据b₁=2a₁求得b₁则数列{b_n}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b₁．

本题考点：等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．