题目

已知动圆的方程,求其圆心轨迹方程的方法
已知动圆的方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a不等于1,（1）求证上述圆恒过定点,（2）求恒与圆相切的直线方程（3）求圆心轨迹方程

提问时间：2020-08-10

答案

（1）动圆的方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,
可化为x^2+y^2-4y+2-2a(x-y)=0,
它过曲线x^2+y^2-4y+2=0和x-y=0的交点A（1,1）.
（2）配方得动圆的方程为(x-a)^2+[y-(2-a)]^2=2a^2-4a+2=2(a-1)^2,
当a→1时它退缩为点A,
∴恒与圆相切的直线过点A,设它的方程为kx-y-k+1=0,
圆心到切线的距离等于半径,
∴|ka-(2-a)-k+1|/√(k^2+1)=(√2）|a-1|,而a≠1,
∴|k+1|＝√〔2（k＾2＋1）〕,
平方得k＾2＋2k＋1＝2k＾2＋2,
k＾2－2k＋1＝0,
k＝1．
∴恒与圆相切的直线方程为x－y＝0．
（3）圆心坐标x＝a,y＝2－a,
∴x＋y－2＝0,为所求.