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题目
一质点从A点开始运动,沿直线运动到B点停止,在运动过程中,物体能以a1=6.4m/s2的加速度加速,也能以a2=1.6m/s2的加速度减速,也可以做匀速直线运动.若AB间的距离为1.6km.
(1)质点应该怎样运动,才能使它的运动时间最短,最短时间为多少?
(2)若质点能达到的最大速度Vm=32m/s,物体又应该如何运动,其时间最短?(并请画出两种运动情况的大致V-t图象)

提问时间:2020-08-10

答案
(1)当质点先加速后减速时,这段运动时间最短.
设最大速度为v,有:
v2
2a1
+
v2
2a2
=s

代入数据解得v=64m/s,
则最短时间t=
v
a1
+
v
a2
64
6.4
+
64
1.6
s=50s

(2)若质点的最大速度为32m/s,则质点先匀加速到最大速度,后匀速运动,最后匀减速运动速度减为零,时间最短.
则匀加速运动的时间t1
vm
a1
32
6.4
=5s
,匀减速运动的时间t2
vm
a2
32
1.6
s=20s

则匀加速运动的位移x1
vm2
2a1
322
2×6.4
m=80m

匀减速运动的位移x2
vm2
2a2
322
2×1.6
m=320m

则匀速运动的位移x3=s-x1-x2=1200m
则匀速运动的时间t3
x3
vm
1200
32
s=37.5s

最短时间为t=t1+t2+t3=62.5s.
答:(1)质点先加速后减速时运动时间最短,最短时间为50s.
(2)质点先加速到最大速度后,匀速运动,再匀减速运动到零,时间最短,图线如图所示.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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